Exercícios Resolvidos:

1 - Determine o 7º termo do binômio (2x + 1)⁹ , desenvolvido segundo as potências decrescentes de x.

Solução:

Vamos aplicar a fórmula do termo geral de (a + b)ⁿ , onde a = 2x , b = 1 e n = 9. Como queremos o sétimo termo, fazemos p = 6 na fórmula do termo geral e efetuamos os cálculos indicados. Temos então:
T₆₊₁ = T₇ = C_9,6 . (2x)^9-6 . (1)⁶ = 9! /[(9-6)! . 6!] . (2x)³ . 1 = 9.8.7.6! / 3.2.1.6! . 8x³ = 84.8x³ = 672x³. Portanto o sétimo termo procurado é 672x³.

2 - Qual o termo médio do desenvolvimento de (2x + 3y)⁸ ?

Solução:

Temos a = 2x , b = 3y e n = 8. Sabemos que o desenvolvimento do binômio terá 9 termos, porque n = 8. Ora sendo T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 T8 T9 os termos do desenvolvimento do binômio, o termo do meio (termo médio) será o T5 (quinto termo). Logo, o nosso problema resume-se ao cálculo do T₅ . Para isto, basta fazer 
p = 4 na fórmula do termo geral e efetuar os cálculos decorrentes. 
Teremos:
T₄₊₁ = T₅ = C_8,4 . (2x)^8-4 . (3y)⁴ = 8! / [(8-4)! . 4!] . (2x)⁴ . (3y)⁴  
= 8.7.6.5.4! / (4! . 4.3.2.1) . 16x⁴.81y⁴

Fazendo as contas vem:
T₅ = 70.16.81.x⁴ . y⁴ = 90720x⁴y⁴ , que é o termo médio procurado.

3 - Desenvolvendo o binômio (2x - 3y)³ⁿ , obtemos um polinômio de 16 termos . 
Qual o valor de n?

Solução:

Ora, se o desenvolvimento do binômio possui 16 termos, então o expoente do binômio é igual a 15. 
Logo, 3n = 15 de onde conclui-se que n = 5.

4 - Qual a soma dos coeficientes dos termos do desenvolvimento de :

Solução:

a) basta fazer x=1 e y=1. Logo, a soma S procurada será: S = (2.1 -3.1)¹² = (-1)¹² = 1
b) analogamente, fazendo x = 1 e y = 1, vem: S = (1 - 1)⁵⁰ = 0⁵⁰ = 0.

5 - Determine o termo independente de x no desenvolvimento de (x + 1/x )⁶ .

Solução:

Sabemos que o termo independente de x  é aquele que não depende de x, ou seja, aquele que não possui x.
Temos no problema dado: a = x , b = 1/x e n = 6. 

Pela fórmula do termo geral, podemos escrever:

T_p+1 = C_6,p . x^6-p . (1/x)^p = C_6,p . x^6-p . x^-p = C_6,p . x^6-2p . 
Ora, para que o termo seja independente de x, o expoente desta variável deve ser zero, pois x⁰ = 1. Logo, fazendo 6 - 2p = 0, obtemos p=3. Substituindo então p por 6, teremos o termo procurado. Temos então:
T₃₊₁ = T₄ = C_6,3 . x⁰ = C_6,3 = 6! /[(6-3)! . 3! ] = 6.5.4.3! / 3!.3.2.1 = 20.
Logo, o termo independente de x é o T₄ (quarto termo) que é igual a 20.

Exercícios propostos

1) Qual é o termo em x⁵ no desenvolvimento de (x + 3)⁸ ?

2) Determine a soma dos coeficientes do desenvolvimento de (x - 3y)⁷ .

3) Qual é o valor do produto dos coeficientes do 2o. e do penúltimo termo do desenvolvimento de (x - 1)⁸⁰ ?

4) FGV-SP - Desenvolvendo-se a expressão [(x + 1/x) . (x - 1/x)]⁶ , obtém-se como termo independente de x o valor:
a) 10
b) -10
c) 20
d) -20
e) 36
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5) UF. VIÇOSA - A soma dos coeficientes do desenvolvimento de (2x + 3y)^m é 625. O valor de m é:
a) 5
b) 6
c)10
d) 3
e) 4

6) MACK-SP - Os 3 primeiros coeficientes no desenvolvimento de (x² + 1/(2x))ⁿ estão em progressão aritmética.O valor de n é:
a) 4
b) 6
c) 8
d) 10
e) 12

7) No desenvolvimento de (3x + 13)ⁿ há 13 termos. A soma dos coeficientes destes termos 
é igual a:
Resp: 2⁴⁸

8 - UFBA-92 - Sabendo-se que a soma dos coeficientes no desenvolvimento do binômio (a + b)^m é igual a 256, calcule (m/2)!
Resp: 24

9 - UFBA-88 - Calcule o termo independente de x no desenvolvimento de (x² + 1/x)⁹.
Resp: O termo independente de x é o sétimo e é igual a 84.

10 - Calcule a soma dos coeficientes do desenvolvimento do binômio (3x - 1)¹⁰.
Resp: 1024

Respostas:
1) T₄ = 1512.x⁵
2) – 128
3) 6400
4) D
5) E
6) 8
7) 2⁴⁸
8) 24
9) 84
10) 1024

Extraido de :

https://www.algosobre.com.br/matematica/binomio-de-newton.html