Termo Geral da P.A

30-09-2010 10:50

Dê uma olhada na seguinte sequência:

5, 10,15, 20, 25, 30,...50

Agora veja o quadro abaixo:

Termo

Número

a1

5

a2

10

a3

15

a4

20

a5

25

an

50

Termo Geral da P.A

Observe que o primeiro termo da sucessão é a1 e que ele vale 5. O a2 e vale 15.
O último termo, o an,   vale 50

Muitas questões de prova fornecem uma progressão Aritmética (P.A), com muitos números e pede para você descobrir um dos termos.

Vejamos um exemplo:
Na P.A anterior, calcule o termo a5 . Faz de conta que você não sabe que o a5 vale 25

Antes do cálculo,  vejamos algo que nos ajudará muito na resolução deste tipo de problema

Existem uma maneira da gente poder calcular qualquer termo de uma P.A desde que a gente saiba quem é o primeiro termo ( a1 ) e a razão ( r ), da P.A    Veja como se calcula qualquer termo de uma P.A

an = a1 + (n -1 )r

Esta fórmula nos permite calcular  o último termo an

5, 10,15, 20, 25, 30,...50

O detalhe é que podemos "cortar" a P.A onde quisermos e fazer com que o an seja o 15, o 20, o 25...qualquer um que a gente queira

Veja quem é quem na fórmula:

an

Termo que se quer calcular

a1

Primeiro termo

n

Posição do termo que se quer calcular

r

Razão da P.A

Para que você possa utilizar a fórmula você precisa conhecer pelo menos 3 dos 4 ítens acima.

E precisa ter certeza de que se trata de uma Progressão Aritmética (P.A). Feito isto você pode partir para calcular o termo que deseja. Vamos calcular o
a5 da nossa P.A ?

Para calcular o termo a5
nossa sequência

5, 10, 15, 20, 25,...50

Primeiro: lembar da fórmula: an = a1 + (n -1 )r
Segundo
: Calcular a razão:
10 - 5 = 5
Terceiro: Separes os valores que você possui para substituir na fórmula

Separando os valores que possuimos, ficamos assim:

an = a5 ? ( Queremos saber )
a1 = 5
( Basta olhar na sequência )
n = 5 ( Queremos o a5 então n=5 )
r = 10 ( Basta fazer 10 - 5 = 5 )

Quarto: Substituir os valores acima, na fórmula

an = a1 + (n -1 )r

Substituindo na fórmula teremos:
a5 = 5 + (5 -1 )5

Quinto: Calcular a expressão
an = 5 + (4 )5
an = 5 + 20
an = 25

Resposta:  O termo a5 (quinto termo ), da P.A acima vale 25

Realmente!  Basta olhar para a Progressão Aritmética e ver que o quinto termo (a5) vale 25

A fórmula que nos permite calcular qualquer termo de uma P.A nos é muito útil, principalmente quando se quer calcular um termo que não dá para ver na sucessão.

Veja a nova Progressão Aritmética:

3, 6, 9, 12, 15, 18 ... 7002

Se a questão for calcular o termo  que ocupa a posição de número 500 você saberia calcular ?

Neste caso com a fórmula é bem mais rápido!

Exemplos:

Se numa PA o quinto termo é 30 e o vigésimo termo é 60, qual a razão?
Temos a5 = 30 e a20 = 60.
Pela fórmula anterior, poderemos escrever:
a20 = a5 + (20 - 5) . r e substituindo fica: 60 = 30 + (20 - 5).r ;
60 - 30 = 15r ; logo, r = 2.

Numa PA de razão 5, o vigésimo termo vale 8. Qual o terceiro termo?
Temos r = 5, a20 = 8.
Logo, o termo procurado será: a3 = a20 + (3 – 20).5
a3 = 8 –17.5 = 8 – 85 = - 77.


Extraído de:

http://www.interaula.com/ap1au006_03.html

http://www.algosobre.com.br/matematica/progressao-aritmetica-pa.html